A90L-0001-0566#A

型号：1608VL-05W-B69 

电压：24VDC

 电流：0.13A

品牌：原装美蓓亚NMB

尺寸：40*40*20MM

发那科系统轴流风扇

• 张量

   

  （物理中力学名称）

   锁定

本词条由“科普中国”百科科学词条编写与应用工作项目 审核 。

张量（tensor）理论是数学的一个分支学科，在力学中有重要应用。张量这一术语起源于力学，它最初是用来表示弹性介质中各点应力状态的，后来张量理论发展成为力学和物理学的一个有力的数学工具。张量之所以重要，在于它可以满足一切物理定律必须与坐标系的选择无关的特性。张量概念是矢量概念的推广，矢量是一阶张量。张量是一个可用来表示在一些矢量、标量和其他张量之间的线性关系的多线性函数。

• 中文名

• 张量

• 外文名

• Tensor

• 提出者

• 威廉·罗恩·哈密顿

• 提出时间

• 1846年

• 应用学科

• 力学，数学

• 适用领域范围

• 连续介质力学

目录

1. 1 物理名称

2. 2 背景知识

3. 3 规定

4. 4 定义

5. 5 基本运算

6. 6 特殊张量

7. 7 协变导数与算符

8. 8 例子

9. 9 张量密度

10. 10 张量相关

物理名称

张量（Tensor）是一个定义在的一些向量空间和一些对偶空间的笛卡儿积上的多重线性映射，其坐标是|n|维空间内，有|n|个分量的一种量， 其中每个分量都是坐标的函数， 而在坐标变换时，这些分量也依照某些规则作线性变换。r 称为该张量的秩或阶（与矩阵的秩和阶均无关系）。

在同构的意义下，第零阶张量 （r = 0） 为标量 （Scalar），***阶张量 （r = 1） 为向量 （Vector）， ***阶张量 （r = 2） 则成为矩阵 （Matrix）。例如，对于3维空间，r=1时的张量为此向量：（x,y,z）。由于变换方式的不同，张量分成协变张量 （Covariant Tensor，指标在下者）、逆变张量 （Contravariant Tensor，指标在上者）、 混合张量 （指标在上和指标在下两者都有） 三类。

在数学里，张量是一种几何实体，或者说广义上的“数量”。张量概念包括标量、向量和线性算子。张量可以用坐标系统来表达，记作标量的数组，但它是定义为“不依赖于参照系的选择的”。张量在物理和工程学中很重要。例如在扩散张量成像中，表达器官对于水的在各个方向的微分透性的张量可以用来产生大脑的扫描图。可能最重要的工程上的例子就是应力张量和应变张量了，它们都是二阶张量，对于一般线性材料他们之间的关系由一个四阶弹性张量来决定。

虽然张量可以用分量的多维数组来表示，张量理论存在的意义在于进一步说明把一个数量称为张量的涵义，而不仅仅是说它需要一定数量的有指标索引的分量。特别是，在坐标转换时，张量的分量值遵守一定的变换法则。张量的抽象理论是线性代数分支，现在叫做多重线性代数。

背景知识

“张量”一词最初由威廉·罗恩·哈密顿在1846年引入，但他把这个词用于指代现在称为模的对象。该词的现代意义是沃尔德马尔·福格特在1899年开始使用的。

这个概念由格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯特罗在1890年在《微分几何》的标题下发展出来，随着1900年列维-奇维塔的***文章《微分》（意大利文，随后出版了其他译本）的出版而为许多数学家所知。随着1915年左右爱因斯坦的广义相对论的引入，张量微积分获得了更广泛的承认。广义相对论完全由张量语言表述，爱因斯坦从列维-奇维塔本人那里学了很多张量语言（其实是Marcel Grossman,他是爱因斯坦在苏黎世联邦理工学院的同学，一个几何学家，也是爱因斯坦在张量语言方面的良师益友 - 参看Abraham Pais所著《上帝是微妙的（Subtle is the Lord）》），并学得很艰苦。但张量也用于其它领域，例如连续力学，譬如应变张量（参看线性弹性）。

注意“张量”一词经常用作张量场的简写，而张量场是对流形的每一点给定一个张量值。要更好的理解张量场，必须首先理解张量的基本思想。

规定

1.求和约定

指在给定的项中凡有一上和一下两个相同的指标就表示对该指标从1到空间维数N求和。例如，在三维空间中，

2.张量指标

包括哑指标和自由指标。哑指标是指各项中一上和一下成对的相同指标。例如，上式中的指标i就是哑指标。自由指标是指在方程的所有项中只出现一次的指标。[1] 

定义

有两种定义张量的方法：

1. 按变换规律定义

若一坐标系

中

个量

与另一坐标系

中

个量

间满足交换规律

则

称为r阶逆变和s阶协变混合张量的分量。若s=0，则

称为r阶逆变张量的分量。若r=0，则

称为s阶协变张量的分量。上述这种张量记法称为分量记法。

2.按不变性定义

凡可以在任何坐标系中写成下列不变性形式的量定义为r+s阶张量：

式中

和

分别为坐标系

和

中的协（逆）变基矢量。上述这种张量记法称为不变性记法或并矢记法。[1] 

基本运算

1． 加减法

两个或多个同阶同型张量之和（差）仍是与它们同阶同型的张量。

2． 并积

两个张量的并积是一个阶数等于原来两个张量阶数之和的新张量。

3． 缩并

使张量的一个上标和一个下标相同的运算，其结果是一个比原来张量低二阶的新张量。

4． 点积